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Chama-se equação do 2° grau com uma variável toda equação que pode ser colocada na forma: a𝑥² + bx + c = 0, onde 𝑥 é a variável e a,b, e c são coeficientes.

Exemplo:

a) 2𝑥² + 3𝑥 - 1 = 0    onde a = 2, b = 3 e c= -1

b) 5𝑥² - 3 = 0            onde a = 5, b = 0 e c= -3

c) 𝑥² - 2𝑥 = 0            onde a=1, b=-2 e c= 0

Veja um exemplo com um exercício resolvido:

- Coloque na forma a𝑥² + b𝑥 + C = 0 a equação do segundo grau (𝑥 - 2)² = 3

Solução:

(𝑥 - 2)² = 3

𝑥² - 4𝑥 + 4 = 3

𝑥² - 4𝑥 + 4 -3 = 0

𝑥² - 4𝑥 + 1 = 0

Toda equação do segundo grau com uma incógnita, 𝑥 por exemplo, pode, depois de efetuadas as transformações convenientes (eliminação de denominadores, redução de termos semelhantes, etc), ser reduzida à forma:

𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 0

Esta forma, é denominada normal ou geral, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐  são números reais (podendo representar também, uma expressão literal qualquer), positivo, negativos ou nulos, com exceção de 𝑎 que deve ser sempre diferente de zero, do contrário, a equação se reduziria ao primeiro grau.

Os números 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são os coeficientes ou parâmetros da equação; 𝑎 é o coeficiente de 𝑥², 𝑏 é o coeficiente de 𝑥 e 𝑐 o termo conhecido ou constante.

Exemplo:

3𝒙² + 2𝒙 - 5 = 0

é uma equação do segundo grau na incógnita 𝑥, onde:

𝑎 = 3 , 𝑏 = 2 e 𝑐 = -5

Dica do professor: Para melhor aproveitamento do aprendizado, é sempre possível supor o coeficiente positivo. Caso ele se apresente negativo, basta multiplicar ambos os membros da equação por -1 que todos os termos da equação mudarão de sinal.

Equações Incompletas

Uma equação do segundo grau, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 diferentes de zero é chamada completa. No caso de, pelo menos um dos números 𝑏 ou 𝑐 ser nulo, a equação do segundo grau é denominada incompleta.

Exemplos:

a) 2𝓍² - 5𝓍 = 0    (c=0)

b) 𝓍² - 9 = 0  ( b=0)

c) 3𝓍² = 0    (b=0 e c=0)

Resolver uma equação do segundo grau, com uma incógnita, significa procurar todos os números positivos, negativos ou nulos, que verificam a equação. 

1° Exemplo: Equações na forma 𝐚𝒙 + 𝒄 = 0

Resolver fatorando:
𝑥² - 4𝑥 = 0
𝑥 (𝑥 - 4) = 0
𝑥 = 0 ou 𝑥-4=0
V = {0,4}

Neste caso, uma das raízes é sempre zero.

2° Exemplo: Equações na forma 𝐚𝐱² + 𝐜 = 0

Resolver as equações:

a) 𝑥² - 81 = 0

𝑥² = 81

𝑥 = ± √81

𝑥 = ± 9

V = { - 9,9}

b) 7𝑥² - 28 = 0

𝑥² =  ²⁸⁄₇

𝑥² = 4

𝑥 = ± √4

𝑥 = ± 2

V = { -2,2}

c) 𝑥² + 16 = 0

𝑥² = -16

𝑥 = ± √ -16   

V = 0

Resolvendo Equações do segundo grau incompletas utilizando a fórmula de Bhaskara

Todos os cálculos feitos nos exemplos, são válidos se b ou c ou ambos forem nulos. Portanto, a fórmula de Bhaskara, para resolver as equações do 2° grau, 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝟶 (𝑎≠𝟶), também pode ser aplicada às equações incompletas:

Exemplo:

Achar as raízes da equação 2𝑥² - 8𝑥 = 0

Nessa equação temos 𝑎 = 2, 𝑏 = -8 e 𝑐 = 0. Logo:

Assim, na resolução de uma equação incompleta do segundo grau, você pode optar entre a aplicação da fórmula e o processo de fatoração.

Resolução de equações de segundo grau completas

A resolução de uma equação completa do 2° grau pode ser obtida pela fórmula de Bhaskara.

∆ = 𝖻² ₋ 4𝚊𝚌  discriminante da equação

Se ∆ ≥ 0 , podemos escrever:

Se ∆ < 0, a equação não admite raízes reais.

Exemplos de resoluções de equações completas.

Resolver as equações:

1) 

𝑥² + 8𝑥 + 12 = 0

Solução:

Temos a=1, b= 8, c =12

Calculando o valor de ∆:

∆ = b² - 4ac

∆ = (8)² - 4 ∙ 1 ∙ 12

∆ = 64 - 48

∆ = 16

As raízes da equação são 𝑥₁ = 2 e  𝑥₂ = -6

V= { - 6,2 }

2) 

(𝑥 - 1²) = 𝑥 + 5

𝑥² - 2𝑥 + 1 = 𝑥 + 5

𝑥² - 2𝑥 - 𝑥 + 1 - 5 = 0

𝑥² - 3𝑥 - 4= 0

𝚊 = 1, 𝖻 = -3 e  𝚌 = -4

∆ = 𝖻² - 4ac

∆ = (-3)² - 4 ∙ 1 (-4)

∆ = 9 +16

∆ = 25

Substituindo na fórmula:

Logo, V = { - 1,4}

Elaboração: Equipe Mais Educação

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