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Números Primos e Números Compostos

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Números primos -  é todo número que é divisível por si mesmo e pela unidade.
Exemplo:
1, 2, 3, 5, 7, 11,....

Os números primos podem ser também chamados de números simples; os números que não são primos são chamados de números compostos.
Os números primos formam um conjunto denominado conjunto dos números primos.  O conjunto dos números primos é ilimitado.


Números primos entre si - Dois ou mais números dizem-se primos entre si quanto só tem como divisor comum a unidade.
Exemplo:
4 e 9

Dois ou mais números são primos entre si  dois a dois  quando dois entre qualquer um dentre eles são primos entre si.
Assim os números:

15, 22 e 49

São primos entre si dois a dois, por isso que

15 e 22; 15 e 49; 22 e 49
são primos entre si.

Crivo de Erastótenes

Damos a seguir o processo mediante o qual se pode formar uma tabela de números primos, desde 1 até um número qualquer.
Seja neste caso, procurar todos os números primos inferiores a 100.
Escrevemos em sua ordem natural os números desde 1 até 10 que é o limite adotado.
Conservando os números 1 e 2, risquemos de dois em dois os números seguintes a 2; a partir de 3, riscam-se os seguintes de três em três; a partir de 5, riscam-se os números seguintes de cinco em cinco, e assim por diante.

File:New Animation Sieve of Eratosthenes.gif
Tabela Crivo de Eratóstenes - (Wikimédia Comons)
Os números assinalados são compostos, como múltiplos sucessivos, de 2, de 3, de 5, etc. e os restantes
1,2,3,5,7,11,13,17,.... 97,
São primos, pois o fato de não haverem sido riscados significa que qualquer deles não é divisível pelos números primos que o antecederam, para fora da unidade, na sucessão que vai formando pelo processo de seleção indicado.
O processo é devido a Eratóstenes, filósofo grego, e tem a denominação de crivo de Eratóstenes. 

Observação -  Na formação da tabela acima observamos que, ao riscar os múltiplos de qualquer dos números seguintes a dois, encontramos números já riscados assim, o primeiro desses múltiplos que ainda não o foi é o quadrado do número considerado.
Assim é que dos múltipo de 5 o primeiro não riscado é 25, pois os precedentes:
10, 15 e 20,
Já haviam sido riscados como múltiplos de 2 e de 3;
Semelhante, concluímos que o primeiro múltiplo de 7 ainda não riscado é:
7x7 = 49
e assim por diante.
Por esse motivo, pode-se tomar como ponto de partida, ao riscar os múltiplos de cada número, o quadrado desse número e prosseguir do mesmo modo até ser considerado um número primo cujo quadrado seja maior que o limite da tábua.

Reconhecimento dos números primos

Vamos verificar se o número 499 é primo.
Partindo do princípio que, todo número múltiplo admite, pelo menos, um divisor diferente de 1, devemos ensaiar a divisão de 499 pelos números primos em sua ordem natural.
Logo de primeira, verifica-se que 499 não é divisível por 2, por 3, por 5, por 7 e por 11 - ensaiemos, então, os números primos seguintes a 11:


Na divisão de 499 por 23, encontramos o quociente 21, menor que o divisor e, como não obtivemos divisão exata, podemos afirmar que 499 é um número primo, sem precisar prosseguir nas divisões. Se 499 fosse divisível por um número primo maior que 23, o quociente seria menor que 23, e teria aparecido como divisor, nas tentativas anteriores.

Regra - Para reconhecer se um número é primo , basta dividi-lo sucessivamente pelos números primos, tomados em sua ordem natural crescente, a partir de 2, até que se obtenha um quociente menor que o divisor; se nenhuma dessas divisões for exata, o número dado é primo.

Exercício
Verificar se são primos os números seguintes:
  1. 437
  2. 521
  3. 1087
  4. 1313
  5. 1327
  6. 3167
  7. 3293
  8. 6943
  9. 7823
  10. 8383

Gabarito:




Elaboração:
Luciane Gasparin/ Cassemiro Luis





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